Blog za Miću Markovića i društvo u ćošku: matematika, muzika, veličina organa i ostala preterivanja.

Na prethodnom blogu, Mića Marković je postavio sjajno pitanje, ali kad sam razmislio o odgovoru, shvatio sam da bi on bio predugačak i da zavredjuje poseban blog. Mićino pitanje se odnosilo na to kako se dolazi do matematičkih rešenja, ili kako se nešto dokazuje.

O tome, naravno, postoji cela nauka, i ja ću ovde da pokazem par prostih primera, ilustracije radi. Potom ćemo naći vezu izmedju matematike, muzike i još koječega.

Pre svega, da bi nešto dokazali ili opovrgli, moramo da imamo tvrdnju. Ja ću navesti dva primera., oba postavljena od strane Fermat-a (1601-1665), koji je bio pravnik i matematičar. Poznati “Veliki Fermatov problem” je tvdnja da ne postoje tri cela broja koji zadovoljavaju jednačinu

ako je je ovaj broj “n” u jednačini (eksponent) jednak 3 ili više.

Ako je n=1, na primer, jednačina je x+y=z, pa rešenja ima: recimo x=3, y=5, z=8, tj. kad zamenimo u jednačinu ove vrednosti dobijemo 3+5=8, što je tačno. Možemo da uzmemo za x i y bilo koja dva broja, a z prosto kao njihov zbir. Svaka takva “trojka” brojeva je rešenje (heh, nekad se i rešenja kreću u “trojkama”). Idemo dalje.

Kad zamenimo u gornju jednačinu n=2, onda jednačina glasi x^2+y^2=z^2. Hm, ovo je malo teže od prethodnog slučaja. Ako zamislimo da su x i y katete pravouglog trougla, a z hipotenuza (najduža stranica), onda naša jednačina samo kaže da je zbir kvadrata kateta (x i y) jednak kvadratu hipotenuze (z), što je Pitagorina teorema. Aha! Mi smo time naš algebarski problem redukovali na sledeće pitanje iz geometrije: postoji li pravougli trougao sa celobrojnim stranicama? Ako postoji, onda su dužine stranica takvog trougla rešenja naše jednačine. Ispostavlja se da postoji: na primer, x=3, y=4 i z=5 je pravougli trougao ca celobrojnom dužinom stranica. Takvih trouglova ima mnogo (beskonačno mnogo), a ovaj navedeni je najpoznatiji. Dakle, naša jednacina sa n=2 ima rešenje.

Fermat tvrdi da su n=1 i n=2 jedine vrednosti eksponenta n u gornjoj jednačini za koje rešenje postoji. Za sve druge vrednosti, n=3, 4, 5, itd., ova jednačina nema rešenja. To je tvrdnja.

Kako ovo dokazati, ili oboriti?

Oboriti je lako: treba samo naći tri broja (x,y i z) koja zadovoljavaju gornju jednačinu sa n=3 (ili 4, ili 5 ili neka druga vrednost ako nam je to lakše). Prvo, kad je n=3 nema “Aha, Pitagora!”. Ne postoji neka tvrdnja, slična Pitagorinoj teoremi, koja sadrži treće stepene. Ako nemamo drugu ideju, tada se pribegne metodu “pogadjanja” ili probanja. Recimo, programiraš kompjuter da on bira “trojke” brojeva (x, y i z), svaki broj digne na treći stepen, sabere ih, i proveri da li dobijeni brojevi zadovoljavaju ovu jednačinu. Kompjuter može da izvrši na milione takvih računanja u sekundi. Medjutim, brojeva ima beskonačno mnogo, pa bez obzira što smo probali mnogo miliona-gaziliona puta, i kompjuter je radio satima i nedeljama i godinama bez prestanka, i nismo našli rešenje, još uvek ne možemo tvrditi da ga nema uopšte, ni jednog. Možemo možda reći da su rešenja “retka”, teško se nalaze. Setimo se da Fermat nije imao kompjuter i na margini jedne knjige napisao da on svoju tvrdnju “može da dokaže, ali nema dovoljno mesta na margini da to zapiše”. 350 godina kasnije, dokaz je izveden (Wiles, 1996), ali misterija ostaje. Kako je Fermat mogao da tvrdi da ima dokaz, kad se danas zna da je za izvodjenje dokaza porebno poznavanje ne-Euklidske geometrije, eliptičkih krivih, modularnih formi, i sličnih monstruoznosti, koje u Fermatovo vreme nisu postojale? U svakom slučaju, Fermatova tvrdnja je dokazana kao tačna.

Ljudi koji se bave brojevima, i teorijom o njima, posebno vole “proste” brojeve. Prost broj je ceo broj koji je deljiv samo sa jedinicom i samim sobom, bez ostatka. Recimo, 11 je prost broj; 15 nije prost jer je deljiv sa 3 i sa 5. Evo nekoliko prostih brojeva:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 (hvala!)…

Prosti brojevi su interesantni jer su oni, u suštini, kao osnovne note u muzici (vidi dole). Naime, prvo primetimo da je broj 2 jedini paran prost broj na ovom spisku. Svi drugi su neparni jer, kad bi bili parni, bili bi deljivi i sa 2, što je suprotno definiciji prostog broja. Ali, najvažnija stvar vezana za proste brojeve je sledeća: svaki ceo broj može, na jedinstven način, da se napiše kao proizvod prostih brojeva. Na jedinstven. Ovo razlaganje broja na proste faktore se zove faktorizacija. Recimo 35=5*7, ili 24=2*2*2*3, i tako dalje. Ovo je fundamentalna teorema u matematici. Medjutim, faktorisati velike brojeve nije uopšte lako, i ne zna se opšti metod, osim metoda probanjem. Potrebno je mnogo sati kompjuterskog računanja da bi se veliki broj faktorisao – i upravo na ovome se zasniva celokupni rad današnje kriptologije: moguće je uzeti broj toliko veliki da ga svi kompjuteri ovog sveta ne mogu faktorisati u realnom vremenu.

Ali, zar gornja teorema o faktorisanju nekog broja ne liči na tvrdnju da svaki ton može da se “razbije” na zbir osnovnih harmonika, ili da je svaka boja proporcionalna mešavina crvene, zelene i plave (RGB)? U tom smislu, prosti brojevi su u matematici ono sto su osnovni harmonici u muzici, ili osnovne boje u slikarstvu. Zato ih ljudi mnogo proučavaju. Ima mnogo tvrdnji vezanih za proste brojeve (mnoge su nedokazane), a ja ću navesti jednu; ova ima veze sa procesom dokazivanja, a i zanimljiva je na svoj način.

Ljudi su dugo pokušavali da nadju formulu po kojoj mogu da se dobiju prosti brojevi. Medju njima je i Fermat (1601-1665), pravnik i matematičar, koji je predložio da su brojevi, Fn, koji se dobiju po formuli:

kad se u nju zamene vrednosti n=0, 1, 2, 3 ,4 ,5 ,6… prosti brojevi. Ovo naravno nisu svi prosti brojevi, ali svaki koji se dobije po ovoj formuli je prost..

Da probamo: kad je n=0, 2^0=1, 2^1=2,2+1=3, tačno – 3 je prost broj; kad je n=1, 2^1=2, 2^2=4, 4+1=5, tačno – 5 je prost broj; kad je n=2 rezultat je 17 – prost broj; kad je n=3, rezultat je 257 – prost broj; kad je n=4, rezultat je 65537 – takodje prost broj. Dakle F0=3, F1=5, F2=17, F3=257, F4=65537. Kad je n=5, dobije se veoma veliki broj, koji je teško fakrotisati, pa je Fermat (pošto nije imao kompjuter), pretpostavio da je gornja formula tačna, tj. da je broj Fn, izračunat po toj formuli za svaku vrednost “n”, prost i ta pretpostavka je stajala kao “verovatno tačna”.

Medjutim, oko 100 godina kasnije, Ojler (Euler, 1707-1783) pokaže da Fermatov broj F5, tj. broj koji se dobije kad se zameni n=5 u gornjoj jednačini i iznosi F5= 4294967297, nije prost već je deljiv brojem 641, naime 4294967297=641* 6700417!. (Kako je Ojler došao do ovoga – bez kompjutera! – je priča za sebe.) Znači nalaženjem kontra-primera Ojler je izveo dokaz – oborio je Fermatovu tvrdnju. Dokaz završen.

(Sa ponosom mogu da kažem da sam razvio metod, totalno nepriznat u matematici, za rešavanje nekih jednačina. Ja ga zovem “metod upornog posmatranja”, i neke moje kolege su ga uspešno primenile u svojim problemima: ako dovoljno dugo bleneš u neku jednačinu, rešenje ti se samo nametne.)

Ali, ova priča ne bi bila suviše zanimljiva da nema i zagonetni nastavak.

Naime, u vreme Gausa (1777 – 1855) su matematičari razmišljali o pravilnim mnogougaonicima (pravilnim trouglovima, četvorouglima, sedmouglima, itd.) I pitanje je bilo koji od njih mogu da se geometrijski konstruišu samo pomoću lenjira i šestara. Recimo može trougao, može petougao, ali sedmougao ne može. Ne može ni 11-to ugao. S druge strane, neke je prosto konstruisati: trougao ili kvadrat, recimo. Ima li neko pravilo po kome se utvrduje da li se mogu/ne mogu konstruisati mnogouglovi lenjirom i šestarom?

Za svoj 17- rodjendan, kaže legenda, Gaus dokaže da regularni poligon (mnogougao) može da se konstruiše lenjirom i šestarom ako je broj uglova jednak Fermatrovom broju Fn (dakle, 3-ugao, 5-ugao, 17-ugao, 257 –ugao, itd..) - eto nama Fermatovih brojeva nazad - i eksplicitno pokaže konstrukciju za, prigodni rodjendanski, 17-ugao. Legenda takodje kaže da je Gaus tada odlučio da se posveti matematici..

Konstrukcija 257-ugla je izvedena 1830. godine, a rukopis koji daje instrukcije za konstrukciju 65537-o ugla je pisan 10 godina I zauzima veliku kutiju na jednom univerzitetu u Nemačkoj.

Fermatovi brojevi, iako nisu dobri kao formula za proste brojeve, I danas se proučavaju u matematici zbog drugih svojih osobina.

A sada – muzika!

Rekao sam da prosti brojevi u matematici imaju ulogu kao osnovne note u muzici. Ljudi procenjuju rastojanje u “visini” izmedju dva tona kao odnos njihovih njihovih frekvencija. Dva tona čiji je odnos učestanost 2:1 ljudi čuju kao dve iste note u različitim oktavama. Na ovaj način se pravi skala (što znači meredevina), ili lestvica, kako se zove kod nas.

Svi muzički instrumenti, osim udaraljki, proizvode zvuk oscilovanjem strune ili vazdušnog stuba. Svaka zategnuta struna ili vazdušni stub odredjene dužine ima svoju prirodnu, fundamentalnu frekvenciju. Ali, pored ove prirodne frekvencije, instrument ima i celu seriju viših moda oscilovanja, ili vibracija. Kako su frekvencija u talasna dužina vezane jednačinom: frekvencija x talasna dužina = brzina zvuka, a brzina zvuka je konstantna, onda viša frekvencija znači i manja talasna duzina, i obrnuto. Dužine zategnute strune definiše fundamentalnu talasnu dužinu (I odgovarajuću fundamentalnu frekvenciju) te strune, odnosno vazdušnog stuba.

Vrabac pevač (Melospiza melodia) ima pesmu koja se satoji od naizmeničnog puštanja drugog i trećeg harmonica. Ako uzmemo da se ovaj zvuk proizvodi vibracijom vazdušnog stuba, osnovne frekvencije takvih vibracija su 344/2L Hz za otvoren stub, I 344/4L Hz za polu-otvoren stub, gde je L dužina stuba u metrima. (Ove se formule dobiju iz jednostavne fizike oscilacija, i pretpostavke da je brzina zvuka oko 344m/sec).

Najniži zvuk zabeležen u pesmi tog vrapca je je oko 2325 Hz, što bi odgovaralo dužini stuba od oko 7.4cm otvorenog stuba - malo previse za pticu koja je dugacka oko 15cm sa sve repom. Ne zna se tačno kako on to izvodi.

Ali ove formule za učestanost još nam kazuju da, što je veći (duži) vazdušni stub, tj. veća vrednost za L, to je i učestalost proizvedenog zvuka niža – zvuk je “dublji”. Očekujemo, dakle, da manje ptice (i životinje uopšte) proizvode “viši”, piskutaviji zvuk od velikih ptica, što otprilike odgovara situaciji u prirodi - setimo se pesme kanarinca i gakanja guske (ili rike lava i mjauka mačke). Kada životinje, ili ljudi, prete drugima oni se trude da proizvedu što niži (“dublji”) zvuk, jer to implicira da su po dimenzijama veći, sto je već ozbiljna poruka. Kad pas reži (preti), zvuk je niži od zvuka koji proizvodi kad samo “kevće”. Mi možda ne znamo ništa o gornjoj formuli, ali ovo je “usadjena” vrsta znanja koja je dobrodošla. Stvar psihologije.

Takodje je stvar psihologije to što ljudi, kada hoće da ispadnu neagresivni, nepreteći, bezopasni, povise učestanost glasa, govore piskutavije.

Ne znam kako vas, ali mene žešće nervira kad udjem u neku ustanovu, kancelariju, privatan bizmis, naročito u Beogradu, i namontirana sekretarica mi kaže :”Izvaaalite, saedite! Sad će gospodin Bizmismen da dodje. Žaalite li našto da paaapijete?”. I to kaže piskutavim glasom, potpuno neprirodnim, naravno, za svoju figuru. Doživeli ste svi nešto nalik na ovo, siguran sam.

U psihologiji postoji koncept “reaktivne formacije”. To je kad vas neko, na primer, ne voli, ali ne želi (ne sme) to da pokaže, pa se onda pretvara da vas baš voli. Baš voli. Eto.

Ova sekretarica, sto svojim svojim cvrkutom pokusava da deluje ljubazno i "manje" napadno, mi samo pokazuje koliko je njoj (njenoj firmi) stalo do mušterija, pa je povisila ton za notu više na lestvici kako bi bila uverljivija.

Ta namontiranost i penjanje uz tonalnu lestvicu ima i drugih, skrivenijih konotacija i sugestija – subliminal seduction, sve za musteriju. Naime, lestve, merdevine, se na Grčkom kažu klimax.
A naša ptica? Jedna vrsta golubice (Zenaida macrocour), dugacka oko 30cm sa sve dugim repom, proizvodi gugut ucestalosti od 445Hz, sto bi odgovaralo duzini od oko L= 19.3cm. Gde se smesti toliki vokalni organ u tako malu pticu, za sada ostaje tajna. A ipak peva - Eppure canta!