Nauka| Životinjski svet

Konstanta u HAOSU

docsumann RSS / 02.02.2020. u 02:25

Na zakasnjelu vijest o smrti jednog naučnika...

 mitchell-feigenbaum.jpg

 Majkl Fajgenbaum (1944-2019)

 

Ekologija kao naučna disciplina nastaje u XX vijeku, iz pokušaja pojedinih biologa da iz vreve i šuma stvarnoga života apstrakuju matematičke zakonitosti. Njihova osnovna zamisao  bila je sagledati konkretne   populacije  kao dinamičke sisteme, a zatima analizom njihovog ponašana utvditi karakteristike tih sistema.

Šta se dešava sa populacijom upućenom na ogranićene izvore hrane, i kako će se ona nositio sa konkurentskim vrstama, ekolozi pokušavaju da sagledaju kroz odgovarajuće matematičke modele.

No, život je neizmjerno složen u svojoj pojavnosti, sa neborjeno mnogo faktora, koji su pri tom i međusobno povezani, i  njegova kompleksnost je zastrašujuća.

Ekolozi su zato bili prinuđeni da otklone što više "šuma" i pokušaju da uoče  osnovne principe.

Za razliku od  fizičara, koji  na osnovu ponašanja sistema stvaraju adekvatan matematički model, kojim će simulirati posmatrani proces, ekolozi su prinuđeni da skupljaju podatke sa terena, pa da na osnovu dešavanja u narednom vremenu otkrivaju postojeće kauzalnosti, odnosno formiraju odgovarajuće jednačine.

Osnovno pitanje koje je zanima ekologe jeste - šta se dešava sa određenom populacijom koja na raspolaganju ima ograničen izvor hrane?

Pošto u prirodi za mnoge vrste vladaju godišnji ciklusi, biolozi su mogli vrijednosti da očitavaju periodično. Ovo im je omogućilo da umjesto složenih diferencijalnihh jednačina koriste prostije – diferentne.

Takođe, oni uvode još jedan formalizam (koji je sasvim opravdan za posmtarnje izolovanih kolonija, npr. riba u bazenima, i sl.) a to je da veličina populacije u potpunosti zavisi od njenje prošlogodišnje veličine.

Odnosno, matematički zapisano:

x sledeće = F(x),     gdje je x- sadašnja populacija.

Naravno, mogući su različiti oblici ove funkcije. Jedan od prvih, i naravno naivnijih, bio je onaj koji je predložio Robert Maltus, osnivač demografije.

Po Maltusu,

x sledeće = rx         gdje r predstavlja stopu (rasta)

Ovo je tzv. katastrofični scenario, jer veličina populacije ( za r veće od 1)  raste geometrijskom progesijom, sve dok toliko ne naraste da uništi sve rezerve hrane i izazove sopstveni pomor.

Za r manje od 1, veličina populacije matematički teži 0.

 (na primjer, recimo  da je x1 = 0,5  i  r = 0,8

x2 = 0,8 * 0,5 = 0,48

x3 = 0,8 * 0,48 = 0,384

x4 = 0,8 * 0,384 =  0,184...

x5 = 0,8 * 0,18342 = 0,088..

...

jasno je da se daljim ponavljanjem postpuka dobija sve manje i manje xn)

 

Maltus je smatrao da iz ove zakonitosti slijedi i neminovna propast ljudske vrste bez obzira na tehnološki razvoj. Pošto su resursi ograničeni, a rast populacije nije, na kraju neizbježno slijedi - katastrofa.

Međutim, mi znamo da ne peživljavaju sve jedinke, odnosno da postojeći izraz treba korigovati članom (1-x) koji će u obzir uzimati opadanje, tj. umiranje.Odnosno,

x sledeće = rx(1-x)

Ovdje treba primjetiti da je x ustvari relativna vrijednost od maksimalne moguće populacije. A maskimalna vrijednost je  ona na kojoj populacija sama sebe „pojede“. Maximalna  vrijednost u relativnim vrijednostima je 1. Ne može više od toga.

Kada je x=x max, tada je (1-1)=0, pa slijedi i da je x sledeće = 0.

Ova jednačina se inače zove „logistička diferentna jednačina“. Pedesetih godina XX vijeka ekolozi su je koristili u raznim oblicima.

No, tek su fizičar Džejms Jork i biolog Robert Mej do kraja izanalizirali njene osobine i otkrili ono što je Mej nazvao „zmija u matematičkoj travi“.

Ako grafički predstavimo zavisnost xn+1 (tj. x sledeće) od xn (sadašnje stanje) dobijemo ovakvu krivu

d5d4699092bf2ca0f890829378486de5-eps.jpg 

ovo je slučaj za r = 4

Prostim računanjem uz pomoć digitrona, primjećuje se da za izabrano r (r>1), nakon nekoliko iteracija, bez obzira na početnu vrijednost, populacija  vremenom  teži da se ustali na određenoj fiksnoj  vrijednosti. Ta vrijednost zavisi jedino od stope priraštaja r.

Pa tako za r=2, xn se ustali na 0,5

za r=2,3 na 0,5652...

za r=2,6 na 0,6154...

Naravno, ako je r manje od 1, xn će težiti ka 0.

A evo i primjera kako se grafički određuje stanje na kojem će se populacija stabilizovati.

Kroz grafik je povučena prava y=x, tako da se dobijena vrijednost xn+1 odmah prebacuje u naredno xn iz kojeg se dobija novo xn+1, itd. Nakon određenog broja iteracija vrijednosti će se zaustaviti u jednoj tački.

 CobwebConstruction.gif

2K02JEy.png
 

Jork i Mej se nisu zadovoljavali samo ovim karakteristikama jednačine, koje se vrlo brzo uoče. Oni su  nastavili da ponavljaju iteracije za sve veće vrijednost r. I stvari su ubrzo počele da bivaju sve čudnije.

Na donjem grafiku  prikazana je zavisnost populacije (xn) od stope prirasta (r).

Kao što smo ranije pokazali, za r manje od 1,  x je jednako 0 (populacija na kraju nestaje), pa se dijagram prikazuje samo za r veće od 1.

9NLUgEQ.png 

Zajedno sa r,  raste i vrijednost populacije, a onda  na r=3, dolazi do pojave bifurkacije - grafik se dijeli na dva rukavca.

W1cLa5g.png

Ovo praktično znači da će vrijednost populacije iz godine u godinu oscilirati između dva ravnoztežna stanja.

SxUy8pT.png 

Kako se r povećava, dolazi do daljih račvanja na 4 rukavca, i sad vrijednost populacije počinje da oscilira između 4 ravnotežna stanja.

vvpEryD.png 

 

 cFxNvZb.png

Daljim povećanjem slijedi dalje grananje na  8, 16, 32 rukavca i onda, negdje na oko r=3,6,  počinje haos.

Više ne postoji određeno ravnotežno stanje i veličina populacije može da skače iz vrijednosti u vrijednost potpuno nasumično.

73RORKL.png
 

Daljim povećanjem r, opet se pojavljuju prozori reda, sa 3 ravnotežna stanja. A zatim ponovo haos, pa red i na kraju opet haos...

Očigledno da prikazani grafik predstavlja fraktalnu sliku.

feig.png

Džejsm Jork je  kasnijim radom dokazao da za svaki jednodimenzionalni sistem u kojem se pojavi pravilni period 3 (osilacija između tri tačke, tj. stanje na desnom kraju gornjeg dijagrama), to neminovno znači da će se pojaviti i regularne periode svake druge dužine ali i haotični ciklusi. Ovo je lakonski uobličio u stav - Period tri implicira haos.

U kompjuterskoj nauci, bifurkacioni dijagrami koristili su se kao prvi generatori slučajnih brojeva

Što se biologije tiče, među naučnicima je došlo do velike polarizacije mišljenja oko implikacija ovog otkrića.

Jedni su tvrdili da je to dokaz primarne uređenosti populacija, s povremenim haotičnim incidentima, dok su drugi smatrali da da je haos prirodno stanje, a pojava reda iznimka.

Majkl Fajgenbaum, matematički fizičar, otkrio je, koristeći svoj računar HP-65, da je odnos među periodima nastanka bifurkacija konstantan i da iznosi 4,669201...

FeigenbaumConst.gif

 

δ = (S1-S0)/(S2-S1) = (S3-S2)/(S2-S1) = ... = (Sn+1-Sn)/(Sn-Sn-1) = 4,669201... 

Ovaj odnos,označen sa δ, prestavlja transcendentni broj i nazvan je po svom otkrivaocu - Fajgenbaumova konstanta.

Fajgenbaum je, između ostalog, otkrio i da se isti obrazac ponašanja, sa istom konstantom,  javlja u čitavoj klasi jednodimenzionalnih funkcija sa kvadratičnim maksimumom (koje u području maksimuma liče na parabolu).

Npr. za funkciju xn+1 = µ sin(πxn), bifurkacioni dijagram izgleda ovako

9GIMXS5.png 

 

Više tu nije bilo  riječi samo o logističkim mapama i populacijama labotatorijskih moljaca i  riba u ribnjacima. Ista zakonitos se pojavljivala i u fizičkim procesima, pojavi turbulencije, radu srca, fluktuacijama cijena...Ma gdje se pojavile bifurkacije, za njih važi Fajgenbauova odnos. Recimo, ako polako otvarate česmu, ritam kapljica se mjenja i pojačava  baš na ovaj način.

Fajgenbaumov rad je, kao što je i bilo za očekivati, snažno odjedknuo u naučnoj zajednici. On sam je imao priliku da ga brani i prezentuje na više eminentnih naučnih skupova. No, nije svuda nailazio na blagonaklon prijem.

Njegova slava je posebno zasmetala čovjeku koji je smatrao da sve počasti u vezi fraktala pripadaju njemu. Naravno, radi se o Benoi Mandelbrotu.

1984. na Nobelovom simpozijumu, u Švedskoj, njih dvojica su se i suočila za katedrom, gdje je Mandelbrot pokazivao dvadeset godina star rad finskog matematičara Mirberga, o udvostručavanju perioda i cijelo vrijeme je Fajngebauove sekvence nazivao Mirbergovim skvencama.

Ipak, Majkl Fajngenbaum je prvi uočio univerzalnost i teorijski objasnio čitav koncept.

A između jednodimenzionalnog bifurkacionog dijagrama i Mandelbrotovog skupa (od ranije poznatog i široj blogerskoj javnosti kao skup svih Žilijeovih skupova) postoji itekako zanimljiva veza. Bifurkacioni dijagram i nije ništa drugo do preslikavanje na realnoj osi Mandelbrotovog skupa.

f1S0vtlH7f5Ww0bAC7_rydNE9IMDnaZS4_IhO5-BjS8.jpg?auto=webp&s=73d3cca9ded92b37dd2594979af60ea5166c63b5

Svaki novi krug označava povećanje perioda oscilacije za 2. Posljednji prozor reda je na malom ostrvcetu koji i sam ima oblik čitavog skupa.

"Pravi" haos je izgleda u rogu Mandelbrotovog skupa ;)

 

 



Komentari (22)

Komentare je moguće postavljati samo u prvih 7 dana, nakon čega se blog automatski zaključava

Черевићан Черевићан 03:08 02.02.2020

мамом катастрофичног сценарија

kompleksnost života je zastrašujuća

недорек живота баш уме да слуди
и није лако .........сконтати му шему,
наука се труди...... изазов савладат'
распетљајућ' тајну што чучи у њему
macak_tom macak_tom 08:48 02.02.2020

Re: мамом катастрофичног сценарија

Черевићан
kompleksnost života je zastrašujuća

недорек живота баш уме да слуди
и није лако .........сконтати му шему,
наука се труди...... изазов савладат'
распетљајућ' тајну што чучи у њему

Ja se ne slažem da je život kompleksan!
Naprotiv, mislim da je život 'pičkin dim'.
Sva 'kompleksnost' života nastupa iz nesavršenosti čoveka.
denovo denovo 14:49 02.02.2020

Re: мамом катастрофичног сценарија

Ja se ne slažem da je život kompleksan!
Naprotiv, mislim da je život 'pičkin dim'.
Sva 'kompleksnost' života nastupa iz nesavršenosti čoveka.


O da, za katapultično društvo ljubitelja dima...



docsumann docsumann 15:35 02.02.2020

Re: мамом катастрофичног сценарија

Ja se ne slažem da je život kompleksan!
Naprotiv, mislim da je život 'pičkin dim'.
Sva 'kompleksnost' života nastupa iz nesavršenosti čoveka.


i čovjek je život
gavros gavros 14:44 02.02.2020

Bravo za tekst

Nisam znao da se razumiješ i u ovu tematiku, tj. da ti je predmet interesovanja. Kao u zlatna vremena bloga...
mirelarado mirelarado 14:46 02.02.2020

Re: Bravo za tekst

Kao u zlatna vremena bloga...


Ćutim i učim. Docsu preporuka k'o vrata!
docsumann docsumann 15:17 02.02.2020

Re: Bravo za tekst

gavros
Nisam znao da se razumiješ i u ovu tematiku, tj. da ti je predmet interesovanja. Kao u zlatna vremena bloga...


eh, moje unteresovanje za teoriju haosa počinje prije nekij 12 godina kada sam pročitao knjigu Džejms Glajka - HAOS.
od tada sam zainteresovan za fraktale i kompletnu priču.

inače, sarski je pohvalno govorio o Glajku kao popularizatoru naučnih tema.
a poznavao je i Fajngembauma lično.
poklopili su nam se utisci o njemu, njegovi iz realnog života i moji koje sam stekao čitajući knjigu.
kažu da je bio sjajan naučnik, šitrokog obrazovanja i briljantnog uma. uz to je bio i veoma prijatna osoba, cool lik.
za Manelbrota se to baš ne bi moglo reći. genijalan da, ali silno sujetan lik.

prije neki dan saznah da nas je MF napustio prošle godine, pa se malo posjetih nekih zanimmljivih epizoda iz te knjige.
docsumann docsumann 15:18 02.02.2020

Re: Bravo za tekst

mirelarado
Kao u zlatna vremena bloga...


Ćutim i učim. Docsu preporuka k'o vrata!


drago mi je ako sam tematiku približio ljudima kojima nauka i tehnika nisu profesionalni izbor.

nsarski nsarski 16:40 02.02.2020

Re: Bravo za tekst

prije neki dan saznah da nas je MF napustio prošle godine, pa se malo posjetih nekih zanimmljivih epizoda iz te knjige.


Da, ja sam Fajgenbauma, Majkla Fejgenbauma, upoznao 1984 na jednoj konferenciji/letnjoj školi u Norveškoj. Proveli smo dosta vremena na terasi ćaskajući uz kafu i cigarete - on i ja smo tada bili jedini pušači na tom skupu.
Inače, ispričao mi je kako je došao do svoje univerzalne konstante dok je radio u Los Alamosu. Tamo se družio sa jednim "našim" čovekom, Predragom Cvitanovićem, koji mu je pomalo pomagao u radu. Jednostavno, pošto nije imao veliki komp već samo neki prost HP, on je pokušao da izračuna da li sekvenca parametra (ti ga zoveš "r" u tvojoj formuli) konvergira, i, pošto je sticajem srećnih okolnosti ta konvergencija eksponencijalnog oblika, uspeo iz par koraka da izračina beskonačni limit, to jest univerzalnu konstantu delta=4.66920160910299067185320382…
Posle sam Majkla viđao u raznim prilikama po svetu, ali to prvo druženje mi je ostalo u sećanju.
I Predraga sam upoznao godinu dana kasnije u Italiji. Veoma inteligentan čovek, mada nepotrebno ohol, posebno prema mlađim kolegama. Posle kratkotrajnog boravka u Danskoj (Nordita u Kopenhagenu), najzad je završio u Georgia Institute of Technology (od milošte Georgia Tech). Evo jednog snimka u kome profesori sa Georgia Tech, među njima i Cvitanović (ali je stalno van kadra), gde se diskutuje o tome da li smo mi, zapravo, kompjuterska simulacija. Dakle, za Docsa:

Cvitanović i simulacija.

Takođe, poznati Stephen Wolfram (da, onaj što je izmislio softver "Mathematica", jedan od najboljih u klasi) je napisao lep nekrolog povodom smrti Majkla. Evo ga ovde

Mitchell Feigenbaum (1944‑2019)
michiganac michiganac 10:38 08.02.2020

Re: Bravo za tekst

gde se diskutuje o tome da li smo mi, zapravo, kompjuterska simulacija


U trenutnom sam stisku sa vremenom da bih bacio pogled na ovo, ali ne dijelim bas ovakve predodzbe i sl. kreac. pomisli da smo, eto, moguce otjelotvoreni po nekakvom uzvisenom algoritmu, itd.. Ali, s druge strane, dijelim zamisao o tome da smo dio "hologramske" stvarnosti u vise "ravni" (ili preciznije: polja), nedostupnih neposredno nasim urodjenim culima.

Bas prije koji dan me YT navede na ovaj klip (takodje kao preporuka za Docsa):



I moram da priznam da sam za jednim ovakvim jezgrovitim objasnjenjem (u konkretnom slucaju: -fundamentalija QFT) sa prigodnim viz. animacijama odavno vapio (jerbo kvantna fizika nije bas moj fah). Zamolio bih uvazenog profesora da baci ukratko pogled i pitao bih ga jos samo za prvi utisak o popularizatoru ovakvih tema, doticnom Arvinu? Ne mogoh da mu nadjem 'bio' na net-u, ali s prilicnom upucenoscu i velikim entuzijazmom objasnjava ovu materiju.

Zahvaljujem!
docsumann docsumann 15:35 02.02.2020

interesantno

kako je krajnje simplufikovan model logističke jednačine omogućio naučnicima da otkriju zakonotosti za koje se ispostavio da imaju univerzalno značenje i za širu klasu jednodimenzionalnih sistema, odnosno i za mnogo složenije slučajeve.

neko je rekao da su difrentne logističke jednačine za problematiku jednodimenzionalnih dinamičkih sistema ono što su 10 zapovjesti u odnosu na Bibliju.

nsarski nsarski 16:52 02.02.2020

Re: interesantno

kako je krajnje simplufikovan model logističke jednačine omogućio naučnicima da otkriju zakonotosti za koje se ispostavio da imaju univerzalno značenje i za širu klasu jednodimenzionalnih sistema, odnosno i za mnogo složenije slučajeve.

neko je rekao da su difrentne logističke jednačine za problematiku jednodimenzionalnih dinamičkih sistema ono što su 10 zapovjesti u odnosu na Bibliju.


Mislim da je Robert May prvi u tom smislu analizirao arhetipsku logističku jednačinu i objavio rad u časopisu Nature pod naslovom Simple mathematical models with very complicated dynamics, 1976.
Međutim, u tom radu se ne pominje univerzalna konstanta. Fajgenbaum je svoj rezultat objavio 1978, pod naslovom Quantitative universality for a class of nonlinear transformations. Njemu je taj rad primljen u Journal of Statistical Physics (izdavač, Joel Lebowitz, se često vajkao da mu nije jasno kakav značaj ima taj rezultat, ali je ipak odlučio da ga štampa). Tako da May nikako nije mogao da pomene Majkla u svom radu. Kad je citiranje u pitanju moglo je da bude obrnuto, ali ni to se nije desilo.
nask nask 16:33 02.02.2020

Jebeš haos koji ima konstantu

jinks jinks 16:51 02.02.2020

...

Kada već pominješ nelinearne sisteme haosa - skoro bio dokumentarac baš na tu temu (što je samo po sebi neverovatno) u kome je rečeno da postoji nešto što se stvarno i može nazvati kao konstanta u haosu ili konstanta haosa.

A to je "funkcija atraktor" za koju tvrde da postoji za mnoge od haotičnih sistema koji su do sada izučavani. Naime, uočeno je da koliko god trajektorija sistema bila nelinearna i zavisna od početnih uslova (što haos upravo i čini haosom), da svaka od njih ostavlja određen specifičan otisak u vremenu, odnosno određenu tipsku trajektoriju koja "privlači" nelinearni sistem, i u čijoj se okolini on na određeni način ipak na kraju uvek i kreće (gde te funkcije "atraktori" umeju ponekad da budu i prilično kompleksne - nešto slično otisku prsta nelinearne haotične funkcije, iliti njegovoj "konstanti" ).

Te se te "funkcije atraktori" izgleda ipak i mogu na određeni način koristiti da se modeluju i najhaotičniji sistemi.

p.s.

Inače, fascinira da je takvu jednu emisiju (ono nelinearna automatika i teorijska fizika i matematika do daske) napravio PBS kanal - nešto kao američki javni servis.

Svaka im čast, ne znam šta drugo da kažem, mada i kod nas ume da bude sličnih emisija.
mirelarado mirelarado 16:59 02.02.2020

Re: ...

Kada već pominješ nelinearne sisteme haosa - skoro bio dokumentarac baš na tu temu (što je samo po sebi neverovatno) u kome je rečeno da postoji nešto što se stvarno i može nazvati kao konstanta u haosu ili konstanta haosa.


Moglo bi se reći: haos jeste ludilo, ali u tom ludilu ipak ima nekog sistema ("funkcije atraktori" kao konstanta).
jinks jinks 17:06 02.02.2020

Re: ...

Dinamički sistemi haosa ne podrazumevaju obavezno haos na način na koji se on najčešće doživljava. To su nelinearni sistemi čije ponašanje, za razliku od linearnih, u dinamičkom smislu (odnosno, u smislu trajektorija koje prolaze) zavise od njihovih početnih uslova.

A svaki sistem na svetu, sa izuzetkom matematičkih modela na računaru i još malo čega drugog, jeste nelinearan (uz manje ili više osnovanu mogućnost da se u okolini određene radne tačke linearizuje).

Inače, pomenuše u emisiji kako se složeni nelinearni modeli mogu koristiti ne samo u fizici ili tehnici, već i u ekonomiji, biologiji, pa čak i u mnogim društvenim naukama.

Neko reče da bi se, na primer, čuvene funkcije "arhetipa" koje se koriste u mnogim društvenim naukama, mogle posmatrati kao kakve "funkcije atraktori" u njima odgovarajućim nelinearnim modelima i sistemima.
nsarski nsarski 17:32 02.02.2020

Re: ...

Inače, pomenuše u emisiji kako se složeni nelinearni modeli mogu koristiti ne samo u fizici ili tehnici, već i u ekonomiji, biologiji, pa čak i u mnogim društvenim naukama.


Evo, ja sam napravio nelinearni sistem jednačina koji opisuje razvoj ljudske ličnosti. Dobiju se skokovite promene kako ih je opisao Piaget. Unutar tog modela ima 8 stabilnih atraktora sa promenljivim domenima atrakcije koji se menjaju u zavisnosti od "konstantnih" vrednosti temperamenta.

A general quantitative theory of personality development: Fundamentals of a self-organizing psychobiological complex

i
Mapping genes for human personality

Iskren da budem, ja mislim da je sve to prodavanje magle, ali, jbg, ljudi se pale, pa neka im. Kakvu istinsku informaciju sadrži iskaz da je neki fenomen - od razvoja ličnosti do razvoja berze - zapravo najbolje opisan kao samoorganizovani nelinearni dinamički sistem? Po mom mišljenju nikakvu.
To su samo velike reči iza kojih se krije veliko neznanje. Jer mi o takvim nelinearnim sistemima ne znamo skoro ništa. Ali, to je samo moje mišljenje. Ako se nekom ne sviđa, imam ja i drugo.
jinks jinks 17:40 02.02.2020

Re: ...

Pročitaću sa uživanjem.

Inače, baš prošle nedelje jedan nešto stariji kolega reče "znaš automatika je matematika koliko i elektrotehnika", na šta rekoh "što mi je izuzetno drago".

p.s.

Vezano za

zapravo najbolje opisan kao samoorganizovani nelinearni dinamički sistem

neki bi rekli, a šta ako nije samoorganizovan :)
jinks jinks 17:49 02.02.2020

Re: ...

..
marco_de.manccini marco_de.manccini 05:32 03.02.2020

3,5,7,9,...,6,10,14,...,12, 20, 28,...

Džejsm Jork je kasnijim radom dokazao da za svaki jednodimenzionalni sistem u kojem se pojavi pravilni period 3 (osilacija između tri tačke, tj. stanje na desnom kraju gornjeg dijagrama), to neminovno znači da će se pojaviti i regularne periode svake druge dužine ali i haotični ciklusi. Ovo je lakonski uobličio u stav - Period tri implicira haos.

Први део овог резултата -- кад год постоје тачке периода 3, постоје и тачке било којег периода -- доказао је и украјиннски математичар Шарковски, шездесетих, десетак година пре Лија и Јорка.

У ствари, резултат Шарковског је потпунији, на пример, каже и да кад постоји тачка периода 5 постоје и тачке био којег другог периода осим, могуће, периода 3. Каже и да кад постоји тачка периода 6, постоји тачка било којег парног периода, ... каже и још много тога.

Видети Sharkovskii Theorem

Ли и Јорк нису знали за Теорему Шарковског кад су доказали свој резултат. У сваком случају, други део Ли-Јорковог резултата -- где год је тачка периода 3 ту је и хаос -- јесте оно ново и значајно у њиховом раду.
docsumann docsumann 10:55 03.02.2020

Re: 3,5,7,9,...,6,10,14,...,12, 20, 28,...

hvala na dopuni i korekciji
marco_de.manccini marco_de.manccini 15:53 03.02.2020

Re: 3,5,7,9,...,6,10,14,...,12, 20, 28,...

nema korekcije, samo dopuna.

Arhiva